MATLAB 图像处理 Project 2 实验报告

实验任务简介

实验背景

　　本次实验需要利用 $MATLAB$ 和所学的图像处理相关知识，对一张输入的图片进行 Haar 小波变换及 Huffman 编码，以达到图片压缩的目的。

实验环境

　　实验操作系统环境为 Windows 10 ，$MATLAB$ 版本为 R2021b 。

实验思路

　　实验大致分为以下几步：图片补全、 Haar 小波变换、 Huffman 编码、编码数据保存、编码数据读取、 Huffman解码、Harr 小波逆变换、计算压缩率并显示压缩前后对比结果。

程序框架与技术细节

总体框架

　　程序大致框架为： main.m 为程序入口，为程序整体的流程； Haar.m 为 Haar 小波变换过程的函数； Huffman.m 为对小波变换结果进行 Huffman 编码的函数； Haar_Inv.m 为 Haar 小波变换逆过程的函数。程序运行流程如下：

各模块功能介绍

main.m

　　main.m 作为程序的入口，主要起到表示程序流程及调用各模块函数的作用，具体过程如下：弹出文件选择对话框读入待操作图片，将图片长宽拓展到最近的 $2^n$ 大小，调用 Haar 小波变换函数进行小波变换处理，将结果矩阵变为有符号整数，调用 Huffman 函数进行 Huffman 编码处理，保存数据文件，清空工作区变量，读取数据文件，利用内置函数进行 Huffman 解码操作，将矩阵结果变回原大小，调用 Haar_Inv 函数进行小波逆变换处理，计算压缩率，对比显示原图与压缩图，显示压缩率。

Haar.m

　　Haar.m 是 Haar 小波变换过程的函数，具体计算方法为利用变换矩阵与图像矩阵进行矩阵乘法。 4 $\times$ 4 和 8 $\times$ 8 的小波变换矩阵如下，依此类推 $2^n \times 2^n$ 的小波变换矩阵。 $$ H_4 = \left[ \begin{matrix} \frac14 & \frac14 & \frac14 & \frac14 \\ \frac14 & \frac14 & -\frac14 & -\frac14\\ \frac12 & -\frac12 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 \end{matrix} \right] \\ H_8 = \left[ \begin{matrix} \frac18 & \frac18 & \frac18 & \frac18 & \frac18 & \frac18 & \frac18 & \frac18\\ \frac18 & \frac18 & \frac18 & \frac18 & -\frac18 & -\frac18 & -\frac18 & -\frac18\\ \frac14 & \frac14 & -\frac14 & -\frac14 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac14 & \frac14 & -\frac14 & -\frac14\\ \frac12 & -\frac12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac12 & -\frac12 \end{matrix} \right] $$ 　　函数计算过程如下：

获取图片矩阵大小 $[r, c, dim]$ 。
根据图片矩阵列数计算相应的小波变换矩阵 $H_c$。
用该小波变换矩阵与图片矩阵的转置矩阵进行矩阵乘法，然后再转置，即 $$ I = (H_c \times I^T)^T $$
根据图片矩阵行数计算相应的小波变换矩阵 $H_r$ 。
用该小波变换矩阵与图片矩阵进行矩阵乘法，得到小波变换最终结果，即 $$ I = H_r \times I $$
对结果矩阵进行阈值处理，在本程序中，绝对值小于等于 2 的部分将被舍弃为 0 。

Huffman.m

　　Huffman 函数的功能是对 Haar 小波变换完的矩阵进行 Huffman 编码，在函数中编码部分主要由 $MATLAB$ 内嵌函数完成，其余笔者自行编写的部分为对矩阵进行预处理的过程。

　　函数计算过程如下：

将小波变换完的矩阵乘上行列数以整数化。
分图层每层拉直为行向量。
计算每个元素出现的概率。
利用 huffmandict 函数进行字典的生成。
利用 huffmanenco 函数进行每一层的编码，并记录其编码长度。

Haar_Inv.m

　　Haar_Inv 函数是 Haar.m 函数的逆过程，即从 Haar 小波变换的结果矩阵还原回图像原始矩阵。4 $\times$ 4 和 8 $\times$ 8 的小波变换逆矩阵如下，依此类推 $2^n \times 2^n$ 大小的逆变换矩阵。 $$ H_{inv_4}= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \\ H_{inv_8}= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] $$ 　　函数计算过程如下：